Apa aritmetika? Téoréma dhasar aritmatika. aritmetika binar

Apa aritmetika? Nalika manungsa wiwit nomer lan bisa karo wong-wong mau? Where sing menehi werna saka konsep saben dinten kaya angka, pecahan, suda, lan ugi pingan, wong sing wis digawe lan bagéan integral saka urip lan wawasan kang? pikiran Yunani admired èlmu kayata matématika, aritmetika lan géomètri, minangka sawijining simfoni ayu logika manungsa.

Mungkin math ora jero minangka èlmu liyane, nanging apa bakal kelakon kanggo wong-wong mau, wong lali tabel pingan SD? Menowo kanggo kita pikiran logis, nggunakake nomer, pecahan, lan piranti liyane kanggo menehi wong wektu hard, lan kanggo dangu ora kasedhiya kanggo leluhur kita. Ing kasunyatan, sadurunge pangembangan aritmetika ora area kawruh ora saestu ngelmu.

Aritmetika - Matématika aksara

Aritmetika - èlmu nomer, karo kang sembarang individu wiwit kenalan karo donya narik matématika. Ing tembung saka M. V. Lomonosov, aritmetika - iki gapurane learning, mbukak dalan kanggo kita Miropoznanie. Nanging leres, punika kawruh donya bisa dipisahake saka kawruh saka aksara lan angka, matématika lan wicara? Mbok ing dina lawas, nanging ora ing donya modern, endi kanthi cepet saka ilmu lan teknologi ndadekake hukum dhewe.

Tembung "aritmetika" (Gk. "Arifmos") asal Yunani, tegesipun "nomer". Iku mriksa nomer lan kabeh sing bisa digandhengake karo wong-wong mau. Iki donya nomer: macem-macem operasi ing nomer, aturan angka, tugas sing digandhengake karo perkalian, suda, lan ing ..

Punika ditrima sing langkah dhisikan Mathematics aritmetika lan basa ngalangi kanggo liyane Komplek bagean, kados aljabar, analisis matématika, matématika sing luwih dhuwur lan t. D.

Obyek utama aritmetika

Ing basis saka aritmetika - iku sawijining ongko, situs lan hukum kang dianggep aritmetika paling utawa téori wilangan. Ing kasunyatan, carane pendekatan tengen dijupuk ing wawasan saka kuwi unit cilik, sawetara alam gumantung ing kekuatan bangunan - matématika.

Mulane, pitakonan sing aritmetika, jawaban prasaja: iku èlmu nomer. Ya, bab biasanipun pitu, sanga, lan kabeh masyarakat warna. Lan mung uga, lan ing ayat paling average bisa ora nulis tanpa aksara dhasar, tanpa aritmetika ora bisa ditanggulangi tugas malah dhasar. Makane kabeh ilmu wis majeng mung sawise pangembangan aritmetika lan matématika, kang utamané pesawat saka pemanggih.

Aritmetika - ilmu-Kudus

Apa aritmetika - sains utawa phantom a? Ing kasunyatan, minangka filsuf Yunani kuna rerembugan, ora nomer, ora tokoh ing kasunyatan ora ana. Iku mung Phantom, kang digawe ing pamikiran manungsa nalika ndeleng lingkungan lan pangolahan sawijining. Ing kasunyatan, apa nomer? Ora ono sak aku ora weruh apa-apa kaya sing bisa disebut nomer, rodo, nomer - iku cara kanggo njelajah ing donya saka atine manungsa. Mbok sinau iki kita kudu nang piyambak? Filsuf argue bab iki akeh abad ing saurutan, supaya menehi jawaban exhaustive aku ora nggarap. Salah siji cara, aritmetika bisa dadi kuwat njupuk posisi ing donya modern ora ana kang bisa dianggep sosial dicocogake tanpa kawruh dhasar-dhasaripun.

Minangka ana ongko positif

Mesthi, obyek utama kang makaryakke aritmetika, - nomer alam kayata 1, 2, 3, 4, ..., 152 ... etc. Aritmetika saka wilangan asli iku asil saka beyo saka obyek biasa, kayata sapi ing Meadow. Isih, definisi "akèh" utawa "sethitik" yen soko wis mandhek kanggo terus wong, lan kedah invent technique pancacahan luwih canggih.

Nanging temonan nyata teka nalika atine manungsa wis ngrambah ing titik sing bisa dadi siji lan jumlah sing padha "loro" kanggo ngrancang lan 2 kg, lan 2 bata lan 2 bagean. Kasunyatan sing perlu kanggo abstrak saka formulir, ciri lan makna obyek, banjur kita bisa ngasilaké sawetara tumindak karo obyek kasebut ing wangun wilangan bulat positif. Mangkono lair ing aritmetika saka nomer, kang luwih dikembangaké lan amba ing manggoni posisi ing masyarakat.

Kaya-ambane konsep nomer, minangka nul lan nomer negatif, pecahan, nomer deleng nomer ing cara liyane, duwe sugih sajarah lan menarik pembangunan.

Aritmetika lan praktis Mesir

Two kanca manungsa purba ing sinau saka donya lan mecahaken masalah saben dinten - aritmetika iki lan geometri.

Punika pitados bilih ing sajarah aritmetika wis asli ing East kuna: India, Mesir, Babil lan China. Dadi, Rhind papyrus asal Mesir (supaya diparingi amarga jeneng sing padha gadhahanipun pemilik), gendakan bali menyang abad XX. BC, saliyane kanggo data, pusuh expansion saka bagian sekedhik ing jumlah saka pecahan karo denominators beda lan numerator witjaksono kanggo siji.

Contone: = 1/60 + 2/73 1/219 + 1/292 + 1/365 .

Nanging apa arti kuwi bosok Komplek? Kasunyatan sing pendekatan Mesir ora ngidinke abstracted mikir bab nomer, ing nalisir, petungan padha digawe mung kanggo tujuan praktis. Kang, wong Mesir bakal melu bisnis kayata petungan, namung supaya mbangun kuburan, contone. Iku perlu kanggo ngetung dawa saka struktur fin, lan digawe kanggo wong kanggo njagong lontar. Minangka bisa katon, kemajuan Mesir ing petungan iki disebut, rodo massive, bangunan, tinimbang katresnan ilmu.

Menawi mekaten, petungan ditemokaké ing papirus, ora bisa disebut Renungan ing subyek saka pecahan. Paling kamungkinan, iku preparation praktis, kang mbantu kanggo luwih ngatasi masalah karo pecahan. Ing Mesir kuna ora ngerti meja pingan, diprodhuksi petungan nyedhaki dhowo, nyebar metu ing kathah subtasks. Mbok menawa iki salah siji sing subtasks. Iku gampang kanggo sok dong mirsani sing petungan karo ceceg iki banget wektu-akeh lan ora banget janjeni. Mbok iki alesan aku ora weruh kontribusi amba kanggo pangembangan matématika Mesir kuna.

Yunani Kuno lan aritmetika filosofis

Akeh saka kawruh Timur Ancient padha kasil nguwasani dening wong Yunani kuna, dikenal kanggo pembuangan saka bayangan abstrak, abstrak lan filosofis. Laku interested in boten kurang nanging Prancis paling lan pamikir hard kanggo nggoleki. Iku apik kanggo èlmu amarga math ora bisa kanggo menyang jero, ora tearing karo kasunyatan. Mesti wae, iku bisa kanggo Multiply 10 lembu lan 100 liter saka susu, nanging ora bisa kanggo mindhah adoh.

Yunani mikir rumiyin kiwa tandha wigati jroning sajarah, lan karya wis teka kanggo kita:

• Euclid lan "unsur".
• Pythagoras.
• Archimedes.
• Eratosthenes.
• Zenon.
• Anaxagoras.

Lan, mesthi, dadi kabeh filsafat Yunani, lan utamané pengikute kasus Pythagoras padha supaya hasrat bab nomer, kang dianggep wong harmoni misteri donya. Angka wis dadi sinau lan diselidiki, sawetara wong lan pasangan sing lantaran khusus. Contone:

• nomer Perfect - sing sing sing jumlah kabeh divisors kajaba angka iku dhéwé (6 = 1 + 2 + 3).
• nomer Friendly - nomer kasebut, salah siji kang jumlah kabeh divisors saka balene liya lan kosok (Pythagorean ngerti mung siji pasangan kuwi: 220 lan 284).

Yunani, sing pracaya ilmu sing kudu tresna, ora dadi karo dheweke kanggo marga saka gain, wis digawe strides gedhe, Njelajah, muter lan nambah nomer. Sampeyan kudu nyatet sing ora kabeh sing riset wis digunakake digunakake, sawetara wong padha mung "kanggo kaendahan."

pamikir Eastern saka abad tengahan

Kajaba iku, ing abad tengahan aritmetika owes pembangunan sawijining contemporaries wétan. Ing India marang kita tokoh sing aktif nganggo barang kaya "nul", lan jenis posisi sistem pitungan, biasanipun pemahaman modern. Saka Al-porridge, kang ing abad ka-15 makarya ing Samarkand, kita wis marisi decimals, kang tanpa punika angel mbayangno aritmetika modern.

Kanthi nganggo cara akeh, Eropah kenalan karo prestasi East iki bisa digawe thanks kanggo karya ilmuwan Italia Leonardo Fibonacci, sing nulis sawijining buku "Liber Abaci", acquainting karo inovasi oriental. Iku wis dadi landesan pembangunan aljabar lan aritmetika, riset lan aktivitas ilmiah ing Eropah.

aritmetika Russian

Akhire, aritmetika, wis ketemu panggonan lan bosok ing Eropah, wiwit nyebar ing tanah Russian. Russia pisanan aritmetika diterbitake ing 1703 - iku buku babagan aritmatika Leontiya Magnitskogo. Kanggo dangu iku mung tutorial ing matématika. Isine wektu dhisikan saka aljabar lan geometri. Tokoh, kang padha digunakake ing conto buku pisanan Rusia iku aritmetika, Arab. Senajan angka Arab wis ketemu sadurunge, ing ukiran gendakan bali menyang abad ka-17.

Ing buku dhewe decorated karo gambar saka Archimedes lan Pythagoras, lan ing kaca pisanan - aritmetika image minangka wong wadon. Dheweke lenggah ing dhampar, ngisor kang wis katulisan ing tembung Ibrani kanggo jeneng Gusti Allah, lan ing langkah-langkah sing mimpin kanggo misbyah, marajah tembung "divisi", "Tambah", "Saliyane", lan ing. D. mung bisa mbayangno apa nilai kaulungaké bener kuwi, kang saiki dianggep commonplace.

Ing buku 600 kaca nggambaraké minangka basis saka Saliyane kaya lan tabel pingan, lan aplikasi kanggo èlmu navigasi.

Ora kaget, penulis wis milih gambar saka pamikir Yunani kanggo bukunipun, Gusti Yésus déwé iki menawa kaendahan aritmetika, matur, "aritmetika wis chislitelnitsa ana gambar sing padha, nezavistnoe ...". pendekatan kanggo aritmetika uga diadegaké, amarga iku Adoption nyebar bisa dianggep awal perkembangan kanthi cepet saka pamikiran ilmiah ing Rusia lan pendidikan umum.

angka prima kuwatir

angka prima - iku nomer alam, kang mung 2 divisors positif: 1 lan dhewe. Kabeh nomer liyane, kajaba 1 diarani gabungan. Conto angka prima: 2, 3, 5, 7, 11, lan wong-wong liya sing ora divisors liyane saka 1 lan angka iku dhéwé.

Déné 1, iku ing premium - ana prajanjen kang kudu dianggep ora prasaja utawa senyawa. Prasaja ing kawitan marketing, sawetara prasaja conceals akeh misteri mboten kapecahaken ing awake dhewe.

Euclid kang Téoréma ngandika sing nomer tanpa wates angka prima, lan Eratosthenes teka munggah karo aritmetika "sieve" khusus, kang ngilangake nomer rumit, ninggalake mung prasaja.

pet yaiku nandheske undelete nomer pisanan, lan ing striking sakteruse metu sing kelipatan iku. We mbaleni prosedur kaping pirang-pirang - lan njaluk meja saka angka prima.

Téoréma dhasar aritmatika

Antarane pengamatan bab angka prima kudu khusus sebutno aritmetika Téoréma dhasar.

Dhasar aritmetika Téoréma nyariosaken bilih sembarang ongko luwih saka 1, utawa prasaja utawa bisa decomposed menyang produk saka angka prima nganti urutan faktor Ambalan, mung cara.

Téoréma dhasar aritmatika mbuktekaken cukup cumbersome, lan pangerten iku ora kaya mung kerja.

Ing kawitan marketing, ing angka prima - konsep dhasar, nanging iku ora. Fisika uga yen dianggep atom SD, nganti dheweke ketemu nang alam sing. Angka prima darmabakti crita matématikawan ayu Don Zagier "The sèket yuta angka prima pisanan."

Saka "telu apples" kanggo hukum deduktif

Sing saestu bisa disebut dhasar dikiataken kabeh ilmu - hukum aritmetika. Malah kaya bocah kabeh pasuryan aritmetika, sinau nomer sikil lan tangan ing dolls, nomer persagi, apples lan ing. D. Supaya kita sinau aritmetika, kang banjur progresses menyang aturan liyane Komplek.

kabèh urip kita pirso kita aturan saka aritmetika, kang padha kanggo wong umum paling migunani kabeh ilmu sing menehi. Sinau saka nomer - iku "aritmetika-bayi", kang maringi pirso wong kanggo donya nomer minangka digit ing PAUD.

Aritmetika luwih - ilmu deduktif sing nyinaoni hukum aritmetika. Akèh wong kita ngerti, senajan mbok menawa aku ora ngerti tembung sing pas.

Angger-anggering ugi pingan

Sembarang loro wilangan bulat lan b bisa ditulis minangka jumlah saka + b, kang uga nomer alam. Usul kajaba, hukum ing ngisor iki:

• Commutative, sing ngandika yen permutation saka istilah panggonan jumlah ora ngganti, utawa + b = b + a.
• Associative sing ngandika jumlah ora gumantung ing cara saka kelompokan istilah ing panggonan, utawa + (b + c) = (a + b) + c.

Aturan aritmetika, kayata Kajaba iku, - siji saka dhasar, nanging padha digunakake kabeh ilmu, ora kanggo sebutno saben dinten gesang.

Sembarang loro wilangan bulat lan b bisa ditulis ing prodhuk utawa b * a * b, kang uga nomer alam. Kanggo aplikasi prodhuk hukum Commutative lan associative padha menyang Kajaba saka:

• a * b = b * a;
• a * (b * c) = (a * b) * c.

Sampeyan menarik sing ana hukum, kang nggabungke ugi pingan, uga dikenal minangka distribusi utawa hukum distributif:

a (b + c) = ab + ac

Undhang-Undhang iki mulang kita bisa karo kelompok, mbukak wong, saéngga kita bisa wis bisa karo rumus liyane Komplek. Iki hukum sing bakal mimpin kita liwat donya kuna ingkang nanging Komplek aljabar.

Hukum supaya aritmetika

bab hukum logika manungsa iku migunakake saben dina, mriksa kang nonton lan ngetang tagihan. Lan, Nanging, lan iku kudu digawe menyang basa tartamtu.

Yen kita duwe loro wilangan bulat positif lan b, banjur pilihan ing ngisor iki:

• iku padha karo b, utawa = b;
• kurang saka b, utawa
• sing luwih gedhé saka b, utawa> b.

Saka telung opsi mung bisa mung siji. The Law dhasar, kang ringkih prosedur, ngandika: menawa

Ana uga angger-angger sing duwé ikatan tumindak ing urutan lan ugi pingan: menawa

Hukum aritmetika mulang kita bisa karo nomer, pratandha lan kelompok, ngowahi kabeh dadi sawijining simfoni harmonious nomer.

sistem panomeran posisional lan nonpositional

Kita bisa ngomong sing nomer - saka basa matématika, saka penak kang gumantung ing akeh iku. Akèh banget wangun sistem pitungan, kang, kaya aksara saka basa beda beda-beda.

Coba angka saka titik posisi impact ing Nilai jumlah saka digit ing posisi iki. Contone, sistem Romawi nonpositional ngendi saben nomer dienkode dening pesawat tartamtu saka karakter khusus: I / V / X / L / C / D / M. Padha, mungguh, nomer 1/5/10/50/100/500 / 1000. Ing sistem iki, tokoh ora ganti netepake jumlah sawijining, gumantung ing apa posisi ngirim: .. Ing kawitan, kaloro, lan sapiturute Kanggo nomer liyane, iku perlu kanggo lay mudhun dasar. Contone:

• DCC = 700.
• CCM = 800.

More menowo kanggo kita sistem angka nggunakake angka Arab punika positional. Ing sistem kuwi nomer discharge nemtokake nomer digit, umpamane, nomer telu-digit: 333, 567, etc. Bobot saka samubarang discharge gumantung ing posisi kang tokoh punika siji utawa liyane, contone tokoh 8 ing posisi kaloro wis Nilai saka 80. Iku khas kanggo sistem desimal, ana sistem positional liyane kayata binar.

aritmetika binar

We are sistem desimal menowo, dumadi saka nomer siji-dicokot lan multi-dicokot. Tokoh ing kiwa ing nomer digit punika sepuluh kaping luwih ing wigati siji ing sisih tengen. Dadi, kita digunakake kanggo maca 2, 17, 467, lan ing. D. Iku beda logika lan pendekatan bagean, kang diarani "aritmetika binar." Iki ora ngageti, amarga aritmetika binar ora digawe kanggo logika manungsa, lan kanggo komputer. Yen aritmetika saka nomer asalé saka pancacahan, kang luwih abstracted saka properti tundhuk "wuda" aritmetika, banjur iki ora bisa karo komputer. Kanggo bisa kanggo nuduhake sing kawruh karo komputer, wong wis kanggo nemokake pitungan model.

aritmetika binar dianggo karo aksara binar, ingkang namung 0 lan 1 nggunakake aksara iki disebut sistem binar.

Boten kados desimal aritmetika sepasang sing wigati saka posisi ngiwa maneh 10, lan 2 kaping. nomer binar sing saka wangun 111, 1001 lan ing. D. Carane ngirim kita ngerti nomer iki? Makaten, kita nimbang nomer 1100

1. Digit kapisan ing kiwa - 1 * 8 = 8, prewangan ing atine sing digit papat, kang tegese iku kudu ping pingan dening 2, kita njaluk posisi 8.
2. Kapindho digit 1 * 4 = 4 (posisi 4).
3. Kaping tiga digit 0 * 2 = 0 (posisi 2).
4. Papat digit 0 * 1 = 0 (posisi 1).
5. Dadi nomer kita 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12.

Sing, transisi kanggo kategori anyar kanggo kiwa pinunjul ing sistem binar wis ping pingan dening 2 lan desimal - kanggo 10. Kaya sistem wis siji drawback: iku wutah banget amba bit sing dibutuhake kanggo ngrekam nomer. Conto nomer desimal dvochinyh bisa ndeleng ing sajati.

nomer desimal sing dituduhake ing wangun binar ngisor.

Sampeyan uga dipigunakaké octal, lan sistem heksadesimal Nomer.

aritmetika aneh

Apa aritmetika, "loro plus loro" utawa misteri unexplored nomer? Nalika sampeyan bisa ndeleng, aritmetika, bisa, lan misale jek ing kawitan marketing prasaja, nanging ora ketok ngakali ease. Sampeyan bisa sinau anak, lan bebarengan karo lik Owl saka kartun "aritmetika-bayi", lan sampeyan bisa nyilem menyang penelitian ilmiah jero supaya meh filosofis. Ing sajarah iku wis musna saka sarego obyek kanggo nyembah kaendahan nomer. Siji bab punika tartamtu: karo panyiapan saka postulat dhasar saka aritmetika, kabeh ilmu bisa gumantung ing Pundhak kuwat dheweke.