Rumus ing bidang: carane nggawe? Jinis pepadhan bidang

Ing papan bidang bisa ditegesake ing macem-macem cara (siji titik lan vektor, vektor lan loro nilai, telu, lan sapiturute). Iku karo ing atine, rumus bidang bisa duwe macem-macem. Uga ing kahanan tartamtu bidang uga podo, jejeg, bagéyan, etc. On iki lan bakal pirembagan ing artikel iki. Kita bakal sinau kanggo nggawe rumus umum saka bidang lan ora mung.

Wangun normal saka rumus

Upaminipun R papan _3, kang wis persegi dowo a koordinasi sistem XYZ. We netepake α vektor, kang bakal dirilis saka titik wiwitan O. Liwat mburi α vektor tarik bidang P kang sejajar iku.

Ndudohke P ing kasepakatan titik Q = (x, y, z). Radius vektor saka titik Q tandha huruf p. Dawa vektor ing perangan kang adil α p = IαI lan Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

vektor unit iki, kang wis katuntun ing arah minangka vektor α. α, β lan γ - sing ngarepke sing kawangun antarane vektor lan pituduh positif Ʋ sumbu papan x, y, z mungguh. Nggambarake titik ing vektor QεP Ʋ iku pancet kang padha kanggo p (p, Ʋ) = p (r≥0).

Rumus ndhuwur iku migunani nalika p = 0. Mung n bidang ing kasus iki, bakal nglintasi titik O (α = 0), kang asal, lan unit vektor Ʋ, dirilis saka titik O bakal jejeg P, senadyan sawijining arah, kang tegese Ʋ vektor ditemtokake nganti tandha. rumus sadurungé bidang P kita, ditulis ing wangun vektor. Nanging ing tampilan saka koordinat punika:

P punika luwih dhuwur utawa padha kanggo 0. Aku wus padha ketemu rumus bidang ing wangun normal.

Rumus umum

Yen rumus ing koordinat Multiply dening nomer sing ora padha menyang nul, kita diwenehi rumus padha iki sing nemtokake banget bidang. Iku bakal duwe wangun ing ngisor iki:

Kene, A, B, C - nomer bebarengan beda saka nol. Pepadhan iki diarani persamaan awujud umum bidang.

Persamaan pesawat. kasus khusus

rumus bisa umume bisa diowahi karo kahanan tambahan. Coba sawetara wong.

Nganggep yen koefisien A iku 0. Iki nuduhake yen ing bidang podo kanggo Lembu sumbu predetermined. Ing kasus iki, wangun rumus diganti: Wu + Cz + D = 0.

Kajaba iku, ing wangun rumus lan bakal beda-beda karo kahanan ing ngisor iki:

• Sepisanan, yen B = 0, owah-owahan rumus kanggo Ax + Cz + D = 0, kang bakal nuduhake parallelism kanggo sumbu Oy.
• Sareh, yen C = 0, rumus wis rubah menyang Ax + By + D = 0, sing ngomong bab podo karo menyang sumbu predetermined Oz.
• Katelu, yen D = 0, rumus bakal katon minangka Ax + By + Cz = 0, kang tegese sing bidang nugel O (asal).
• Papat, yen A = B = 0, owah-owahan rumus kanggo Cz + D = 0, kang bakal mbuktekaken parallelism Newmont.
• Kalima, yen B = C = 0, rumus dadi Ax + D = 0, kang tegese bidang podo karo kanggo Oyz.
• Sixthly, yen A = C = 0, rumus njupuk wangun Wu + D = 0, i.e., bakal laporan menyang Oxz parallelism.

Wujud rumus ing perangan

Ing kasus ing pundhi jumlah A, B, C, D beda saka nul, wangun rumus (0) uga minangka nderek:

x / a + y / b + z / c = 1,

endi sing = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.

Kita nampa minangka pepadhan asil bidang ing bêsik. Sampeyan kudu nyatet yen bidang iki bakal simpangan x-sumbu ing titik karo koordinat (a, 0,0), Oy - (0, b, 0), lan Oz - (0,0, s).

Diwenehi rumus x / a + y / b + z / c = 1, iku ora angel kanggo nggambarake bidang seko relatif kanggo sistem predetermined koordinasi.

Koordinat vèktor normal

Vèktor normal n kanggo bidang P wis koordinat sing koefisien saka rumus umum saka bidang, i.e. n (A, B, C).

Supaya kanggo nemtokake koordinat n normal, punika cekap kanggo ngerti rumus umum diwenehi bidang.

Nalika nggunakake rumus ing perangan, kang nduweni bentuk x / a + y / b + z / c = 1, nalika nggunakake rumus umum bisa koordinat sembarang vektor normal ditulis bidang diwenehi: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Sampeyan kudu nyatet yen vektor normal ngewangi kanggo ngatasi macem-macem masalah. Masalah paling umum sing dumadi ing pesawat jejeg utawa podo bukti, tugas nemokake ngarepke antarane kapal mabur utawa ngarepke antarane kapal mabur lan terus garis.

Ketik miturut rumus bidang lan koordinat titik vektor normal

A vektor n nonzero, jejeg bidang tartamtu, disebut normal (normal) kanggo bidang predetermined.

Upaminipun sing ing papan koordinasi (persegi dowo a koordinasi sistem) Oxyz nyetel:

• titik Mₒ karo koordinat (hₒ, uₒ, zₒ);
• nul vektor n = A * i + B * j + C * k.

Sampeyan kudu nggawe rumus saka bidang sing liwat titik Mₒ sejajar karo n normal.

Ing papan kita milih titik kasepakatan lan ndudohke M (x, y, z). Ayo vèktor radius saben titik M (x, y, z) bakal r = x * i + y * j + z * k, lan vèktor radius saka Mₒ titik (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * k. Titik M dadi kagungane bidang tartamtu, yen MₒM vektor dadi sejajar karo vektor n. We nulis kawontenan orthogonality nggunakake produk skalar:

[MₒM, n] = 0.

Wiwit MₒM = r-rₒ, rumus vektor ing bidang bakal katon kaya iki:

[R - rₒ, n] = 0.

Pepadhan iki uga bisa duwe wangun liyane. Iki waé, sifat produk skalar, lan diowahi ing sisih kiwa saka rumus. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Yen [rₒ, n] tetenger minangka s, hakekat iku rumus ing ngisor iki: [r, n] - a = 0 utawa [r, n] = s, kang ndudohake ngélingaken ing proyeksi ing vektor normal saka radius-vektor saka nilai Given sing kagungane bidang.

Saiki sampeyan bisa njaluk Jinis koordinat ngrekam bidang rumus vektor kita [r - rₒ, n] = 0. Wiwit r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k, lan n = A * i + B * j + C * k, kita kudu:

Pranyata metu sing duwe rumus iki kawangun bidang ngliwati titik jejeg ing n normal:

A * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

Ketik miturut rumus bidang lan koordinat loro nilai saka collinear bidang vektor

We netepake loro nilai kasepakatan M '(x', y ', z') lan M "(x", y ", z"), sarta vektor (a ', a ", ‴ a).

Saiki kita bisa nulis rumus predetermined bidang kang liwat liwat titik M ana 'lan M ", lan saben titik karo M koordinat (x, y, z) podo menyang vektor diwenehi.

Mangkono vektor M'M x = {x ', y-y'; zz '} lan M "M = {x" -x', y 'y'; z "-z '} arep coplanar karo vektor ing a = (a ', a ", ‴ a), kang tegese (M'M M" M, a) = 0.

Dadi rumus kita bidang ing papan bakal katon kaya iki:

Jinis rumus bidang, nyebrang telu

Ayo dadi ngomong kita duwe telu: (x ', y', z '), (x', y ', z'), (x ‴ duwe ‴, z ‴), kang ora kagolong ing baris sing padha. Sampeyan perlu kanggo nulis rumus saka bidang ngliwati telu kasebut. teori geometri udur sing iki jinis bidang ora ana, iku mung siji lan mung. Wiwit bidang iki nugel titik (x, y, z '), wangun rumus sawijining bakal:

Kene, A, B, lan C iku beda saka nul ing wektu sing padha. Uga bidang diwenehi nugel loro nilai liyane (x ", y", z ") lan (x ‴, y ‴, z ‴). Ing sambungan iki kudu digawa metu iki jenis kondisi:

Saiki kita bisa nggawe sistem seragam pepadhan (linear) karo unknowns u, v, w:

Ing kasus kita x, y utawa z stands titik kasepakatan kang maregi rumus (1). Ngelingi rumus (1) lan sistem pepadhan (2) lan (3) sistem pepadhan dituduhake ing tokoh ndhuwur, ing nglegakake vektor N (A, B, C) kang nontrivial. Iku amarga determinant saka sistem iku nul.

Rumus (1) kita wis tak, iki rumus ing bidang. 3 titik dheweke tenan dadi, lan iku gampang kanggo mriksa. Kanggo nindakake iki, kita nggedhekake determinant dening unsur ing baris pisanan. Sifat sing ana determinant nderek sing bidang kita bebarengan nugel telu titik Originally predetermined (x ', y', z '), (x ", y", z "), (x ‴, y ‴, z ‴). Supaya kita mutusaké kanggo tugas ing ngarep kita.

amba dihedral antarane pesawat

amba dihedral punika wangun geometris spasial dibentuk déning loro setengah pesawat sing emanate saka garis lurus. Ing tembung liyane, bagéyan saka papan kang winates kanggo setengah pesawat.

Upaminipun kita duwe loro bidang karo persamaan ing ngisor iki:

We ngerti sing vektor N = (A, B, C) lan N¹ = (A¹, H¹, S¹) miturut pesawat predetermined sing jejeg. Ing gati, amba φ antarane garis vektor N lan N¹ amba witjaksono (dihedral), kang dumunung ing antarane pesawat iki. Prodhuk skalar diwenehi dening:

NN¹ = | N || N¹ | beyo φ,

sabenere amarga

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

Iku cukup kanggo nimbang 0≤φ≤π sing.

Bener loro pesawat sing simpangan, wangun rong amba (dihedral): φ ₁ lan φ _2. jumlah sing padha kanggo π (φ ₁ + φ ₂ = π). Minangka kanggo cosines sing, angka mutlak sing padha, nanging lagi pratandha beda, sing, beyo φ ₁ = -cos φ _2. Yen ing rumus (0) diganti dening A, B lan C of A, -B lan -C mungguh, rumus, kita diwenehi, bakal nemtokake bidang padha, mung amba φ ing beyo rumus φ = NN ¹ / | N || N ¹ | Bakal diganti dening π-φ.

Rumus saka bidang jejeg

Disebut jejeg bidang, antarane kang amba punika 90 derajat. Nggunakake materi presented ndhuwur, kita bisa nemokake rumus saka bidang sejajar karo liyane. Upaminipun kita duwe loro pesawat: Ax + By + Cz + D = 0, lan + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Kita bisa ngomong sing lagi orthogonal yen beyo = 0. Iki tegese NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

Rumus saka bidang podo

Iku diarani loro pesawat podo kang ngemot ora TCTerms ing umum.

Kawontenan kapal mabur podo (persamaan sing padha ing paragraf sadurungé) iku garis vektor N lan N¹, kang jejeg mau, collinear. Iki tegese kahanan ing ngisor iki sing ketemu proportionality:

A / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

Yen istilah ceceg sing ditambahi - A / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

iki nuduhake yen bidang data saka padha. Iki tegese rumus Ax + By + Cz + D = 0 lan + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 njlèntrèhaké salah siji bidang.

Ing kadohan saka titik kanggo bidang

Upaminipun kita duwe bidang P, kang diwenehi dening (0). Sampeyan perlu kanggo nemokake kadohan saka titik karo koordinat (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Sampeyan kudu nggawa rumus ing bidang II katon normal wis:

(Ρ, v) = p (r≥0).

Ing kasus iki, ρ (x, y, z) punika vèktor radius titik Q kita, dumunung ing n p - n punika dawa saka jejeg, kang dirilis saka titik nol, v - punika vektor unit, kang disusun ing arah sing.

Bentenipun ρ-ρº vektor Radius saka titik Q = (x, y, z), gadhahanipun n lan vektor Radius saka titik diwenehi Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) punika vektor kuwi, ing Nilai Absolute nggambarake kang ing v perangan kang adil ing d kadohan, kang perlu golek saka Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) kanggo P:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, nanging

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = p (ρ ^0, v).

Dadi dadi metu,

d = | (ρ ^0, v) p |.

Saiki iku cetha sing kanggo ngetung jarak d saka ₀ kanggo Q bidang P, iku perlu nggunakake normal rumus tampilan bidang, shift menyang kiwa p, lan panggonan pungkasan x, y, z sulih (hₒ, uₒ, zₒ).

Mangkono, kita temokake ing Nilai Absolute expression asil sing dibutuhake d.

Nggunakake paramèter saka basa, kita njaluk ketok:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

Yen kasebut titik Q ₀ ing sisih liya ing bidang P minangka asal, banjur antarane vektor ing ρ-ρ ⁰ lan v punika amba obtuse, mangkono:

d = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

Ing kasus nalika titik Q ₀ magepokan karo asal dumunung ing sisih padha saka U, ing leukemia amba digawe, sing:

d = (ρ-ρ ^0, v) = p - (ρ ^0, v)> 0.

Asil iku ing kasus mantan (ρ ^0, v)> p, ing kaloro (ρ ^0, v)

Lan rumus bidang singgung sawijining

Bab bidang lumahing ing titik tangency Mº - bidang ngemot kabeh bisa singgung kurva digambar liwat titik ing lumahing.

Kanthi wangun lumahing saka rumus F (x, y, z) = 0 ing rumus saka titik bidang singgung tangent Mº (hº, uº, zº) bakal:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (uº y) + F _x (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

Yen lumahing disetel tegas z = f (x, y), banjur ing bidang singgung diterangake persamaan:

z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº).

Persimpangan saka loro pesawat

Ing papan telung dimensi punika sistem koordinat (persegi) Oxyz, diwenehi loro pesawat P 'lan P' sing tumpang tindih lan ora kebeneran. Wiwit sembarang bidang, kang ing persegi dowo sistem koordinat ditetepake dening rumus umum, kita nganggep yen n 'lan n "sing ditetepake dening persamaan A'x + V'u S'z + + D' = 0 lan A" + B x '+ y kanthi "z + D" = 0. Ing kasus iki kita duwe n normal '(A', B ', C') saka bidang P 'lan n normal "(A", B ", C") saka bidang P'. Minangka bidang kita ora podo lan ora pas, banjur vektor iki ora collinear. Nggunakake basa matématika, kita kudu kondisi iki bisa ditulis minangka: n '≠ n "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * Lan", λ * Ing ", λ * C"), λεR. Sirnakake garis lurus kang dumunung ing persimpangan P 'lan P ", bakal ditulis huruf a, ing kasus iki = P' ∩ P".

lan - baris dumadi saka majemuk saka TCTerms (umum) pesawat P 'lan P ". Iki tegese koordinat sembarang titik sing kagolong ing baris, kudu bebarengan gawe marem rumus A'x + V'u S'z + + D '= 0 lan A "x + B' + C y" z + D "= 0. Iki tegese koordinat titik bakal solusi tartamtu saka persamaan ing ngisor iki:

Asil iku solusi (sakabèhé) saka sistem iki pepadhan bakal nemtokake koordinat saben TCTerms ing baris kang bakal tumindak minangka titik persimpangan P 'lan P ", lan nemtokake baris ing sistem koordinat Oxyz (persegi) papan.